Considere o conjunto 𝐶 de pontos do plano cartesiano da forma (𝑚 , 𝑛), com 𝑚 e 𝑛 pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Considere o conjunto 𝐶 de pontos do plano cartesiano da forma (𝑚 , 𝑛), com 𝑚 e 𝑛 pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. a) Apresente tod...

Considere o conjunto 𝐶 de pontos do plano cartesiano da forma (𝑚 , 𝑛), com 𝑚 e 𝑛 pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

a) Apresente todos os pontos (𝑚 , 𝑛) de 𝐶 para os quais o produto 𝑚∙𝑛 é maior do que 60.

b) Sorteando-se um ponto (𝑚 , 𝑛) de 𝐶, com iguais probabilidades para todos os pontos, qual é a probabilidade de que a fração  seja redutível?

c) Sorteando-se, com iguais probabilidades, dois pontos distintos de 𝐶, qual é a probabilidade de que a distância entre eles seja igual a 

Note e Adote:

Uma fração   é redutível quando 𝑚 e 𝑛 possuem um divisor natural em comum, além do 1.

QUESTÃO ANTERIOR:

- Uma função 𝑓 está definida no intervalo [−2 , 9] da seguinte forma: para 𝑥 ∈ [−2 , 2], 𝑓 leva 𝑥 em 𝑥² e, no restante do domínio, o seu gráfico é formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

Seja C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a) Os pares ordenados (m, n), com m e n pertencentes a C, tais que m . n > 60 são os 6 abaixo apresentados: (7, 9); (9, 7); (8, 8); (8, 9); (9, 8); (9, 9).

b) O conjunto de todos os pares ordenados (m, n) com m e n pertencentes a C é 7 . 7 = 49.

Os pares ordenados para os quais a fração  é redutível são aqueles para os quais mdc (m, n) ≠ 1 e são os 19 pares descritos abaixo:

(3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6); (7, 7); (8, 8); (9, 9)

(3, 6); (6, 3); (3, 9); (9, 3); (6, 9); (9, 6)

(4, 6); (6, 4); (4, 8); (8, 4); (6, 8); (8, 6)

A probabilidade pedida é, pois, 

c) Dos 49 pontos possíveis, existem  casos possíveis.

Como m e n são inteiros,  só pode ser obtida como  o que indica que    deve ser a diagonal de um retângulo de lados de medidas  2 e 3. Escolhendo um ponto para ser o primeiro vértice do retângulo, os outros vértices estarão definidos no caso em que 2 é o lado horizontal e 3 o lado vertical, como mostram os casos abaixo.

Os valores de x do primeiro ponto variam de 3 a 7 e os valores de y variam de 3 a 6.

Portanto, existem 5.4 = 20 possibilidades de escolha para o primeiro vértice (pontos destacados em vermelho) do retângulo, cada um deles com 2 diagonais. Portanto 40 casos em que o retângulo tem lado 2 na horizontal e 3 na vertical. Para o caso em que o lado 3 está na horizontal e 2 na vertical, também haverão 40 casos de maneira análoga. Logo, existem 80 casos favoráveis.

A probabilidade pedida é:

GABARITO:

a) (7, 9); (9, 7); (8, 8); (8, 9); (9, 8); (9, 9)

b)

c)

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Uma pirâmide P tem base quadrada A0B0C0D0 de lado medindo 1 u.m apoiada em um plano Π, e quatro faces que são triângulos equiláteros, ligando a base ao ápice E0 de de P.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova FUVEST 2022 (2ª fase) com Resolução