UNICAMP 2018 - 2ª fase - Matemática

Questões com Gabarito e Resolução

13. A tabela abaixo exibe o valor das mensalidades do Ensino Fundamental em três escolas particulares nos anos de 2017 e 2018.

a) Determine qual escola teve o maior aumento percentual nas mensalidades de 2017 para 2018.

b) Uma família tem três filhos matriculados na Escola B. Suponha que essa escola ofereça um desconto de 10% na mensalidade para o segundo filho e de 20% para o terceiro filho. Calcule o valor a ser gasto mensalmente com os três filhos em 2018.

Resposta.

14. Sendo 𝑐 um número real, considere a função afim 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑐, definida para todo número real 𝑥.

a) Encontre todas as soluções da equação [𝑓(𝑥)]³ = 𝑓(𝑥³), para 𝑐 = 1.

b) Determine todos os valores de 𝑐 para os quais a função 𝑔(𝑥) = log(𝑥𝑥(𝑥) + 𝑐) esteja definida para todo número real 𝑥.

Resposta.

15. Considere a sequência de números reais (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) tal que (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é uma progressão geométrica e (𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão 𝑤.

a) Determine a sequência no caso em que 𝑎3 = 3 e 𝑤 = 2.

b) Determine todas as sequências tais que 𝑎1 = 1 e 𝑎5 = 8.

Resposta.

16. A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadrilátero com vértices situados nos pontos de coordenadas 𝐴 = (−5,0), 𝐵 = (5,0), 𝐶 = (4,3) e 𝐷 = (−3,4).

a) Determine a área desse quadrilátero.

b) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto 𝐴 e é perpendicular à reta que passa pelos pontos 𝐵 e 𝐶.

Resposta.

17. A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e ângulos internos 𝜃, 2𝜃 e 𝛽.

a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo 𝜃.

b) Prove que, se 𝑐 = 2𝑎, então 𝛽 = 90𝑜.

Resposta.

18. Sabendo que 𝑝 e 𝑞 são números reais, considere as matrizes