ITA 2021: Um relógio digital mostra o horário no formato H : M : S, onde H é um inteiro entre 1 e 12 representando as horas

ITA 2021: Um relógio digital mostra o horário no formato H : M : S, onde H é um inteiro entre 1 e 12 representando as horas, M é um inteiro representando os minutos e S é um inteiro representando os segundos, ambos entre 0 e 59.

Quantas vezes em um dia (H, M, S) são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão aritmética de razão estritamente positiva?

QUESTÃO ANTERIOR:

- ITA 2021: Considere z = a(√3 + i) ∈ C, onde a ∈ R. Determine todos os números reais a para os quais z⁷ e z¹³ estão à mesma distância de z no plano complexo.

RESOLUÇÃO (Cursos Objetivo):

A PA com a maior razão possível é (1,30,59), com r = 29.

Para r = 28, haveria as seguintes possibilidades:

(1,29,57),(2,30,58) e (3,31,59).

Para r = 27, haveria 5 possibilidades, e assim por diante até r = 24. Portanto, para 24 ≤ r ≤ 29 teremos 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 possibilidades.

Para cada uma das razões de 1 a 23, haverá 12 PAs possíveis, com o primeiro termo de 1 a 12. Portanto, 23 . 12 = 276 PAs possíveis.

Assim, haverá um total de 36 + 276 = 312 casos na primeira metade do dia. Logo, durante um dia inteiro (H, M, S), ocorrerá uma PA de razão estritamente positiva 624 vezes.

Obs.: O enunciado diz que H é um número inteiro entre 1 e 12, o que poderia ser compreendido que 1 e 12 não estariam disponíveis, mas esse caso não faria sentido na proposta do exercício. A mesma proble - mática haveria para os minutos e segundos.

GABARITO:

624 vezes

PRÓXIMA QUESTÃO:

- ITA 2021: Seja P uma pirâmide regular com base quadrada. Suponha que os centros das esferas inscrita e circunscrita a P coincidam. Determine a razão entre as áreas das esferas circunscrita e inscrita a P.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Prova ITA 2021 (2ª Fase) com Resolução

REDAÇÃO:

- Redação ITA 2021: Que liberdade nos resta no século XXI?