Questões Matemática IME 2019 com Gabarito

- Instituto Militar de Engenharia -

MATEMÁTICA

QUESTÃO 01
(IME 2019) Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento.

Qual é a soma das idades dos dois irmãos?

(A) 23
(B) 26
(C) 29
(D) 32
(E) 39

RESPOSTA.

QUESTÃO 02
(IME 2019) Os ângulos 𝜃1, 𝜃2, 𝜃3, ⋯ , 𝜃100 são os termos de uma progressão aritmética na qual 𝜃11 + 𝜃26 + 𝜃75 + 𝜃90 =

. O valor de

é:

RESPOSTA.

QUESTÃO 03
(IME 2019) Calcule o valor do determinante:

(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 8
(E) 16

RESPOSTA.

QUESTÃO 04
(IME 2019) Seja a inequação:

6𝑥⁴ − 5𝑥³ − 29𝑥² + 10𝑥 < 0

Seja (𝑎, 𝑏) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para 𝑏 − 𝑎 é:

RESPOSTA.

QUESTÃO 05
(IME 2019) Sejam 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 raízes da equação 𝑥³ − 𝑎𝑥 − 16 = 0. Sendo 𝑎 um número real, o valor de 𝑥1³ + 𝑥2³ + 𝑥3³ é igual a:

(A) 32 − 𝑎
(B) 48 − 2𝑎
(C) 48
(D) 48 + 2𝑎
(E) 32 + 𝑎

RESPOSTA.

QUESTÃO 06
(IME 2019) Seja 𝑧 um número complexo tal que z¹² ∈ ℝ, 𝑅𝑒(𝑧) = 1 e arg(z) ∈

. A soma dos inversos dos possíveis valores de |𝑧| está no intervalo:

RESPOSTA.

QUESTÃO 07
(IME 2019) Definimos a função 𝑓: ℕ ⟶ ℕ da seguinte forma:

Definimos a função 𝑔: ℕ ⟶ ℕ da seguinte forma: 𝑔(𝑛) = 𝑓(𝑛)𝑓(𝑛 + 1).

Podemos afirmar que:

(A) g é uma função sobrejetora.
(B) g é uma função injetora.
(C) f é uma função sobrejetora.
(D) f é uma função injetora.
(E) g(2018) tem mais do que 4 divisores positivos.

RESPOSTA.

QUESTÃO 08
(IME 2019) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados.

Qual sua chance de vencer este duelo?

(A)1/2
(B)3/76
(C) 9/400
(D)1/80
(E)3/80

RESPOSTA.

QUESTÃO 09
(IME 2019) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio 𝑅. São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a saber: 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Seja 𝑟 o raio do círculo inscrito ao triângulo 𝐴𝐵𝐶. Qual a probabilidade de que

(A) 0
(B)1/10
(C) 3/5
(D)1/20
(E)1/6

RESPOSTA.

QUESTÃO 10
(IME 2019) O número de soluções reais da equação abaixo é:

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

RESPOSTA.

QUESTÃO 11
(IME 2019) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos

respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

(A) 2𝑠𝑒𝑛(Â + Ĉ) = 𝑠𝑒𝑛(Â) + 𝑠𝑒𝑛(Ĉ)
(B) 2𝑐𝑜𝑠(Â + Ĉ) = 𝑐𝑜𝑠(Â) + 𝑐𝑜𝑠(Ĉ)
(C) 2𝑠𝑒𝑛(Â − Ĉ) = 𝑠𝑒𝑛(Â) − 𝑠𝑒𝑛(Ĉ)
(D) 2𝑐𝑜𝑠(Â − Ĉ) = 𝑐𝑜𝑠(Â) − 𝑐𝑜𝑠(Ĉ)
(E) 2𝑐𝑜𝑠(Â + Ĉ) = 𝑠𝑒𝑛(Â) + 𝑠𝑒𝑛(Ĉ)

RESPOSTA.

QUESTÃO 12
(IME 2019) Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 450 no sentido anti-horário em torno da origem.

A equação dessa hipérbole após a rotação é:

(A) 𝑥𝑦 = 2
(B) 𝑥
2 + 𝑥𝑦 − 𝑦² = 4
(C) 𝑥² − 𝑦² = 2
(D) 𝑥𝑦 = −2
(E) 𝑥² − 𝑦² = −2

RESPOSTA.

QUESTÃO 13
(IME 2019) Em um setor circular de 45º, limitado pelos raios

iguais a 𝑅, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde

está apoiado em

e o ponto Q sobre o raio

. Então, o perímetro do quadrado é:

RESPOSTA.

QUESTÃO 14
(IME 2019) Considere as afirmações abaixo:

I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;
II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;
III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;
IV) duas retas não paralelas determinam um plano;
V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

(A) apenas uma é verdadeira;
(B) apenas duas são verdadeiras;
(C) apenas três são verdadeiras;
(D) apenas quatro são verdadeiras;
(E) todas são verdadeiras.

RESPOSTA.

QUESTÃO 15
(IME 2019) Em um tetraedro ABCD, os ângulos

são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do ΔABC é igual à área do ΔACD, e o ângulo MÂD é igual ao ângulo

onde 𝑀 é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em cm², sabendo que BC = 2cm, e que o ângulo BÂC é igual a 30°.

(A) (2 − √3)
(B) (2 + √3)
(C) 4(2 − √3)
(D) 4(2 + √3)
(E) 4

RESPOSTA.