Questões de Matemática do IME 2018 com Gabarito

(Instituto Militar de Engenharia)

QUESTÃO 01
IME 2018: Considere as alternativas:

I. O inverso de um irracional é sempre irracional.

II. Seja a função f: A→ B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X ∩ Y)= f(X) ∩ f(Y).

III. Seja a função f: A→ B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X ∪ Y)= f(X) ∪ f(Y).

IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, então A ∩ B = A se, e somente se, B ⊂ A.

Obs: f(Z) é a imagem de f no domínio Z.

São corretas:

(A) I, apenas.
(B) I e III, apenas.
(C) II e IV, apenas.
(D) I e IV, apenas.
(E) II e III, apenas.

Resposta.

QUESTÃO 02
IME 2018: Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x-1 é 1431, então a sua representação na base binária é:

(A) 1 0 0 0 1 1 1 1
(B) 1 1 0 1 1 0 1 1
(C) 1 1 1 0 0 1 1 1
(D) 1 1 0 1 1 1 1 0
(E) 1 1 1 1 0 0 0 1

Resposta.

QUESTÃO 03
IME 2018: A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabese que X é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo:

(A) (0, 25]
(B) (25,50]
(C) (50,75]
(D) (75,100]
(E) (100, 125]

Resposta.

QUESTÃO 04
IME 2018: Seja f(x) uma função definida nos conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(x+4) ≥ f(x) + 4 e f(x+1) ≤ f(x) + 1.

Se g(x) = f(x) + 2 – x, o valor de g(2017) é:

(A) 2
(B) 6
(C) 13
(D) 2021
(E) 2023

Resposta.

QUESTÃO 05
IME 2018: João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em que nasceram ser 3875 é:

(A) 2/99
(B) 19/2475
(C) 37/4950
(D) 19/825
(E) 19/485

Resposta.

QUESTÃO 06
IME 2018: Se X e Y são números naturais tais que X² - Y² = 2017, o valor de X² + Y² é:

(A) 2008010
(B) 2012061
(C) 2034145
(D) 2044145
(E) 2052061

Resposta.

QUESTÃO 07
IME 2018: Sejam x1, x2, x3 e x4 os quatro primeiros termos de uma P.A. com x1 = x e razão r, com x,r ∈ℜ .

O determinante de

(A) 0
(B) x⁴.r
(C) x⁴.r³
(D) x.r⁴
(E) x.r³

Resposta.

QUESTÃO 08
IME 2018: Seja a função H: ℂ → ℂ definida por

com aj e bk reais, para j = 0,1,2,3 e k = 0,1,2. Seja a função f: ℝ → ℝ em que f(w) é a parte real de H(iw) em que i = √−1 é a unidade imaginária e W ∈ ℝ. A afirmação correta a respeito de f(w) é:

(A) f(w) é uma função impar.
(B) f(w) é uma função par.
(C) f(w) é sempre negativa.
(D) f(w) é sempre positiva.
(E) f(w) é uma função periódica.

Resposta.

QUESTÃO 09
IME 2018: Seja P(x) o polinômio de menor grau que passa pelos pontos A (2,-4+3√3), B (1,3√2-2), C (√2,√3) e D (√3,√2). O resto da divisão de P(x) por (x-3) é:

(A) 8√3-5√2-6
(B) 6√3-4√2 1
(C) 9√3-8√2-2
(D) 4√3-10√2-3
(E) 4√3-√2-2

Resposta.

QUESTÃO 10
IME 2018: Seja o seguinte sistema de equações, em que s é um número real:

Escolha uma faixa de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.

(A) s < −2
(B) −2 < s < 0
(C) 0 < s < 1
(D) 1 < s < 2
(E) s > 2

Resposta.

QUESTÃO 11
IME 2018: Determine o valor de a na expressão abaixo, sabendo-se que 0 < a < 1,

onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:

2⁴⁰³³Z²-2²⁰¹⁷Z+1=0.

Obs: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z.

Resposta.

QUESTÃO 12
IME 2018: A menor raiz real positiva da equação

encontra-se no intervalo:

(A) (0,1]
(B) (1,2]
(C) (2,3]
(D) (3,4]
(E) (4,5]

Resposta.

QUESTÃO 13
IME 2018: Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as seguintes equações:

Resposta.

QUESTÃO 14
IME 2018: Seja um heptágono regular de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões?

Resposta.

QUESTÃO 15
IME 2018: Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28 cm². Calcule o valor da diagonal do referido prisma.

(A) √17 cm
(B) √19 cm
(C) √21 cm
(D) 2√7 cm
(E) √29 cm

Resposta.