Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções

Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções 1º DIA MATEMÁTICA Notações N = {1,2,3,. . . }: conjunto dos números naturais ...

Prova ITA 2020 (2ª Fase) com Gabarito e Resoluções

1º DIA

MATEMÁTICA

Notações
N = {1,2,3,. . . }: conjunto dos números naturais
R : conjunto dos números reais.
C : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i² = –1.
[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}.
: segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentose, com vértice no ponto O.
C ∪ D = união entre os conjuntos C e D.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

QUESTÃO 01
ITA 2020: Seja λ a circunferência que passa pelos pontos P = (1, 1), Q = (13,1) e R = (7,9). Determine:

a) A equação de λ.
b) Os vértices do quadrado ABCD circunscrito a λ, sabendo que R é o ponto médio de.

RESPOSTA.

QUESTÃO 02
ITA 2020: Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar.

RESPOSTA.

QUESTÃO 03
ITA 2020: Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a³. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.

RESPOSTA.

QUESTÃO 04
ITA 2020: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x² + ax + b é igual a (–∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números a e b.

RESPOSTA.

QUESTÃO 05
ITA 2020: Considere a função f : R → R definida por f(x) = x⁶ – 10x⁴ – 4x³ + 25x² + 20x + 28.

a) Determine dois números reais α e β de modo que f possa ser reescrita como f(x) = (x³ – 5x + α)² + β.

b) Determine o valor mínimo de f.

c) Determine o(s) ponto(s) x ∈ R onde f assume seu valor mínimo.

RESPOSTA.

QUESTÃO 06
ITA 2020: Seja z ∈ ∁ uma raiz da equação 4z² – 4z sen α + 1 = 0, para α ∈. Determine, em função de α, todos os possíveis valores para:



RESPOSTA.

QUESTÃO 07
ITA 2020: Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio pk(x) = (x – √3)⁶ + 64. Determine z ∈ ∁ sabendo que o conjunto M = {zx ∈ ∁: x ∈ H} é o hexágono que possui υ1 = –1 + √3i, υ2 = 1 – √3i e υ3 = 5 – √3i como três vértices consecutivos.

RESPOSTA.

QUESTÃO 08
ITA 2020: Considere a circunferência λ de centro O passando por um ponto A. Sejam B um ponto tal que A é o ponto médio dee M um ponto de λ tal que AÔM = 100°. Seja r a reta tangente à λ passando por M. Sejaa projeção ortogonal dos segmentosobre a reta r. Determine, em graus, a medida do ângulo AÊB.

RESPOSTA.

QUESTÃO 09
ITA 2020: Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio pk(x) = x³ – x² – k possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de k, determine a raiz inteira correspondente.

RESPOSTA.

QUESTÃO 10
ITA 2020: Considere uma pirâmide reta P cuja base é um hexágono regular de lado l. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75° com a base da própria pirâmide. Sabendo que P está inscrita em uma esfera, determine o raio dessa esfera.

RESPOSTA.

QUÍMICA

Constantes
Constante de Avogadro (NA) = 6,02 x 10²³ mol⁻¹
Constante de Faraday (F) = 9,65 x 10⁴ C mol⁻¹ =
= 9,65 x 10⁴ A s mol⁻¹ = 9,65 x 10⁴ J V⁻¹ mol⁻¹
Volume molar de gás ideal = 22,4 L (CNTP)
Carga elementar = 1,60 x 10⁻¹⁹ C
Constante dos gases (R) = 8,21 x 10⁻² atm L K⁻¹ mol⁻¹
= = 8,31 J K⁻¹ mol⁻¹ = 1,98 cal K⁻¹ mol⁻¹
Constante gravitacional (g) = 9,81 m s⁻²
Constante de Planck (h) = 6,63 x 10⁻³⁴ m² kg s⁻¹
Velocidade da luz no vácuo = 3,0 x 10⁸ m s⁻¹
Número de Euler (e) = 2,72

Definições
Pressão:1 atm = 760 mmHg = 1,01325 x 10⁵ N m⁻² = 1,01325 bar
Energia:1 J = 1 N m = 1 kg m² s⁻² = 6,24 x 10¹⁸ eV
Condições normais de temperatura e pressão (CNTP):
0°C e 760 mmHg
Condições ambientes: 25°C e 1 atm
Condições padrão: 1 bar; concentração das soluções =
= 1 mol L⁻¹ (rigorosamente: atividade unitária das espécies);
sólido com estrutura cristalina mais estável nas condições de
pressão e temperatura em questão.
(s) = sólido. (l) = líquido. (g) = gás. (aq) = aquoso.
(conc) = concentrado. (ua) = unidades arbitrárias.
u.m.a. = unidade de massa atômica. [X] = concentração da
espécie química X em mol L⁻¹
ln X = 2,3 log X

QUESTÃO 01
ITA 2020: Para uma reação reversível de uma etapa 2A + B ⇆ C + D, a constante de velocidade para a reação direta, k1, é de 406 L mol⁻¹ min⁻¹, e a constante de velocidade para a reação inversa, k–1, é de 244 L mol⁻¹ min⁻¹. A energia de ativação para a reação direta é de 26,2 kJ mol⁻¹ (Ea, direta), e para a reação inversa é de 42,4 kJ mol⁻¹ (Ea, inversa).

a) Desenhe um diagrama de energia para essa reação, apresentando os valores de (i) ΔE, (ii) Ea, d, e (iii) Ea, i.

b) Discuta o efeito de elevação da temperatura na constante de velocidade direta (k1) e inversa (k–1).

c) Calcule a constante de equilíbrio (K) e descreva o efeito de elevação de temperatura.

RESPOSTA.

QUESTÃO 02
ITA 2020: Os biodigestores possibilitam o reaproveitamento de detritos convertendo material orgânico em metano, que é utilizado como combustível em sistemas de geração de energia.

Um laticínio utiliza a queima do metano para aquecer 1 m³/h de água, de 25°C a 100°C em uma caldeira que opera a 1 atm.

Sabendo-se que 25% do calor produzido no processo é perdido e que, nessas condições, a combustão completa do metano produz água líquida, determine



a) a entalpia molar da combustão do metano;

b) a taxa de calor necessária para aquecer a água;

c) a vazão de metano, em kg/h, que deve alimentar a caldeira.

RESPOSTA.

QUESTÃO 03
ITA 2020: A obtenção de biodiesel a partir de óleos vegetais (triacilgliceróis) é uma alternativa para a produção de combustíveis menos poluentes, sendo possível catalisar a reação com um ácido ou uma base.

Escreva a equação química balanceada que representa a reação

a) de obtenção de triacilglicerol a partir de glicerol e ácido graxo com cadeia alquílica representada por R1.

b) de obtenção de biodiesel a partir do triacilglicerol obtido em (a) e etanol.

c) paralela e indesejada que poderia ocorrer se, na reação descrita em (b), fosse utilizado hidróxido de sódio como catalisador, tendo também a presença de água na reação.

RESPOSTA.

QUESTÃO 04
ITA 2020: Uma barra de zinco foi soldada a um tubo de ferro fundido para protegê-lo contra a corrosão, estando ambos enterrados no solo. Sabendo que uma corrente constante de 0,02 A escoa entre os dois, responda:

a) Qual é a semireação que ocorre na superfície da barra de zinco?

b) Como a reação descrita em (a) atua para proteger o ferro contra corrosão?

c) Como se chama este sistema de proteção contra a corrosão?

d) Qual deve ser a massa do metal consumida em 10 anos?

RESPOSTA.

QUESTÃO 05
ITA 2020: A partir do isótopoocorrem três processos sucessivos de decaimento radioativo que levam à formação do isótopo final D. A partir dehá emissão de uma partícula beta, produzindo o nuclídeo B. Este, por sua vez, libera uma partícula beta formando o nuclídeo C. O nuclídeo D é produzido a partir de C por meio de emissão de uma partícula alfa. Escreva as equações nucleares dessas três etapas, fornecendo os números de massa e atômico dos nuclídeos B, C e D em função de x e y.

Esboce um gráfico da quantidade de cada nuclídeo em função do tempo até a produção de D e o consumo de todos os demais nuclídeos. Considere que a constante de velocidade é a mesma em todas as etapas.

RESPOSTA.

QUESTÃO 06
ITA 2020: A reação de isomerização do cis-2-buteno para formar o isômero trans-2-buteno, que é mais estável por 4 kJ mol⁻¹, ocorre em fase gasosa em uma única etapa com energia de ativação de 264 kJ mol⁻¹. Essa reação ocorre de forma muito mais rápida quando assistida por iodo molecular em fase gasosa como catalisador. A lei de velocidade da reação catalisada é dada por

O mecanismo proposto para a reação catalisada é baseado em cinco etapas:

I. As moléculas de iodo se dissociam para formar átomos de iodo com energia de dissociação igual a 75 kJ mol⁻¹;

II. Um dos átomos de iodo é adicionado a um dos átomos de carbono que tem ligação dupla, quebrando essa ligação para formar uma ligação simples C—C. O sistema molecular formado encontra-se a 118 kJ mol⁻¹ acima dos reagentes;

III. Uma das extremidades da molécula sofre torção livre em relação à outra extremidade. A energia do sistema molecular após a torção continua a 118 kJ mol⁻¹ acima dos reagentes;

IV. O átomo de iodo ligado ao carbono dissocia-se do sistema molecular intermediário e a ligação dupla é formada novamente no isômero trans. Esse processo libera 47 kJ mol⁻¹ de energia;

V. Os átomos de iodo se recombinam para formar o iodo molecular, liberando 75 kJ mol⁻¹ de energia.

Baseado nessas informações:

a) esboce em uma mesma figura os perfis de energia para a reação de isomerização do cis-2-buteno com e sem a presença de catalisador. Deixe claro, usando diferentes notações, os dois perfis e os valores das energias envolvidas;

b) escreva as reações químicas que ocorrem em cada etapa da reação catalisada para formar a reação global.

RESPOSTA.

QUESTÃO 07
ITA 2020: Considere a conformação estrutural das moléculas 1,3-dietilcicloexano, 1,4-dietilcicloexano e 2,3 diclorobutano. Pedem-se:

a) Desenhe todas as estruturas conformacionais;

b) Determine o número de centros quirais em cada molécula;

c) Identifique todos os pares enantioméricos e os compostos meso, se presentes.

RESPOSTA.

QUESTÃO 08
ITA 2020: Dicromato de potássio, enxofre e água reagem produzindo hidróxido de potássio, óxido de cromo III e dióxido de enxofre. Para oxidar 96 g de enxofre, são utilizados 50% de dicromato de potássio em excesso. Sabendo que o rendimento da reação é de 80%, determine:

a) a equação balanceada da reação química;

b) a massa de dicromato de potássio utilizada;

c) a massa de dióxido de enxofre produzida.

RESPOSTA.

QUESTÃO 09
ITA 2020: A produção de borrachas e espumas é comumente realizada pela síntese de poliuretanos.
Para tal produção, a polimerização ocorre a partir de um poliol e um isocianato.

a) Apresente a(s) reação(ões) químicas da polimerização e formação de poliuretano a partir de um diol e um diisocianato.

b) A água, quando presente no meio, gera reação(ões) paralela(s) e é determinante na produção de espumas. Apresente essa(s) reação(ões).

RESPOSTA.

QUESTÃO 10
ITA 2020: Considere a titulação de um ácido por meio da adição de uma base. Calcule o pH inicial e o pH no ponto de equivalência e construa a curva de titulação, ou seja, o gráfico do pH em função da porcentagem de ácido neutralizado. Apresente os cálculos realizados para os três casos. Dados eventualmente necessários: log 2 = 0,3; √2 = 1,4; log l,4 = 0,14.

a) Ácido forte (HCl, 0,1 mol L⁻¹) com uma base forte (NaOH, 0,1 mol L⁻¹);

b) Ácido forte (HCl, 0,2 mol L⁻¹) com uma base fraca hipotética (XOH, 0,2 mol L⁻¹; Kb(XOH) = 1,0 x 10⁻⁵);

c) Ácido fraco hipotético (HZ, 0,2 mol L⁻¹; Ka (HZ) = 1,0 x 10⁻⁵) com uma base forte (NaOH, 0,2 mol L⁻¹)

RESPOSTA.

2º DIA

FÍSICA

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:
Aceleração local da gravidade: g = 10 m/s².
Constante de Boltzmann: kB = 1,4 x 10⁻²³ J/K.
Constante universal dos gases:


Densidade da água: 1,0 g/cm³.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3,0 x 10⁸ m/s.
1,0 cal = 4,2J.

QUESTÃO 01

ITA 2020: Na figura, o anel de raio R gira com velocidade angular ω constante e dispõe de um alvo pontual A que cruza o eixo x no mesmo instante em que, do centro do anel, é disparado em sua direção um projétil puntiforme com velocidade.

Desconsiderando a resistência do ar,

a) determine o ângulo θ, em relação ao eixo x, em que o projétil acerta o alvo;

b) determine o intervalo de tempo Δt dispendido pelo projétil para acertar o alvo;

c) a velocidade angular ω é determinada apenas por θ e Δt? Justifique.

RESPOSTA.

QUESTÃO 02
ITA 2020: Uma prancha retangular de espessura uniforme, 5,0 m de comprimento, 1,5 g/cm³ de densidade e 10 kg de massa homogeneamente distribuída, é parcialmente submersa na piscina ilustrada na figura, em cuja parede (lisa) se apoia, formando um ângulo de 30° com o piso horizontal, cujo coeficiente de atrito com a prancha é 0,6 √3.

Determine para quais alturas y do nível de água a prancha permanece em equilíbrio estático nessa posição.

RESPOSTA.

QUESTÃO 03
ITA 2020: Uma mola de constante eléstica k é presa a um bloco de massa m sobre um plano inclinado de um ângulo α em relação à horizontal, onde interage entre superfícies um atrito de coeficiente μ.

Com o bloco deslocado forçadamente para baixo, a mola é distendida até um comprimento x = D da sua posição x = 0, quando livre em seu comprimento natural.

A partir do repouso, o bloco é então liberado e se inicia um movimento oscilatório. Pedem-se:

a) As possíveis posições finais xf de parada do bloco após cessar o movimento oscilatório, em função das grandezas intervenientes.

b) O gráfico da quantidade de movimento p do bloco em função da coordenada x, considerando o intervalo de tempo compreendido entre o início do movimento e o instante de sua primeira parada.

RESPOSTA.

QUESTÃO 04
ITA 2020: Um planeta esférico de massa M e raio R gira com velocidade angular constante ao redor de seu eixo nortesul.

De um ponto de sua linha equatorial é lançado um satélite artificial de massa m << M sob ação de seus propul sores, que realizam um trabalho W.

Em consequência, o satélite passa a descrever uma órbita elíptica em torno do planeta, com semieixo maior 2R. Calcule:

a) A excentricidade máxima da órbita do satélite para que este complete uma volta ao redor do planeta.

b) O período de rotação do planeta, levando em conta as grandezas intervenientes, inclusive a constante universal da gravitação G.

RESPOSTA.

QUESTÃO 05
ITA 2020: Frentes de ondas planas de luz, de comprimento de onda λ, incidem num conjunto de três fendas, com a do centro situando-se a uma distância d das demais, conforme ilustra a figura.

A uma distância D ⪢ d, um anteparo registra o padrão de interferência gerado pela difração da onda devido às fendas. Calcule:

a) A razão entre a intensidade da franja clara central e a das franjas claras vizinhas.

b) Os ângulos θn para os quais ocorrem franjas escuras.

RESPOSTA.

QUESTÃO 06

ITA 2020: Considere um dispositivo desenvolvido para simular condições de voo em que operam tubos de Pitot para a medição da velocidade de aeronaves.

A pressão de estagnação PA dá-se na entrada A do Pitot, onde se acopla um tubo contendo água cuja superfície livre encontra-se a h = 60 cm de altura no interior de um recipiente fechado sujeito a um vácuo parcial de 9,0 x 10⁴ Pa. Por sua vez, a pressão estática PB dá-se na entrada B do corpo do tubo de Pitot, imerso numa câmara fechada contendo mols de gás ideal a T = 27°C que ocupa um volume total de 125l.

Sendo ρ = 1,2 kg/m³ a densidade do ar atmosférico, calcule, em km/h, o valor a ser registrado por um velocímetro de aeronave que se baseia na leitura dos manômetros acoplados ao sistema ilustrado acima.

RESPOSTA.

QUESTÃO 07
ITA 2020: De uma altura de 52,5 m é solto um frasco indeformável contendo um gás monoatômico formado de partículas com massa de 4,20 x 10⁻²⁴ g, e de calor específico a volume constante igual a 1,25 cal/g°C.

Ao atingir o solo, a energia cinética do sistema é dissipada na forma de calor no próprio gás. Para uma temperatura inicial do gás de 16°C, determine a variação da velocidade quadrática média das partículas do gás devida à queda. Se necessário, use a aproximação binomial (1 + x)ⁿ ≈ 1 + nx, para |x| ≪ 1. Desconsidere a massa do frasco.

RESPOSTA.

QUESTÃO 08
ITA 2020: Um capacitor 1 de placas paralelas está submetido a uma d.d.p. V1 = 12 V, e um capacitor 2, idêntico ao primeiro, a uma d.d.p. V2.

Um elétron em repouso parte do ponto P, atravessa um orifício no primeiro capacitor e adentra o segundo através de outro orifício, a 60° em relação à placa, conforme indica a figura.

Desconsiderando a ação da gravidade, determine a d.d.p. V2 para que o elétron tangencie a placa superior do capacitor 2.

RESPOSTA.

QUESTÃO 09
ITA 2020: Um sinal luminoso propaga-se no interior de uma fibra óptica retilínea de comprimento L = 3,00 km, feita de um material com índice de refração igual a 1,50. Considere que a luz no interior da fibra é guiada por meio de sucessivas reflexões internas totais.

Sendo a velocidade da luz no vácuo igual a 3,00 x 10⁵ km/s, calcule o tempo de propagação do sinal de ponta a ponta

a) se a fibra estiver envolta de ar;

b) se o núcleo da fibra estiver envolvido por um revestimento feito de material com índice de refração de 1,45.

RESPOSTA.

QUESTÃO 10
ITA 2020: Raios cósmicos interagem com átomos da atmosfera e produzem partículas instáveis X. Por meio de experimentos, constata-se que X decai em uma partícula Y e em um neutrino ν, conforme a equação de decaimento X → Y + ν.

Considerando desprezível a massa de repouso do neutrino e X inicialmente em repouso, determine a velocidade da partícula Y em termos de c e das massas de X e de Y.

RESPOSTA.