Prova de Matemática ENADE 2005 com Gabarito QUESTÃO 01 ENADE: Está em discussão, na sociedade brasileira, a possibilidade de uma reforma po...
Prova de Matemática ENADE 2005 com Gabarito
QUESTÃO 01
ENADE: Está em discussão, na sociedade brasileira, a possibilidade de uma reforma política e eleitoral. Fala-se, entre outras propostas, em financiamento público de campanhas, fidelidade partidária, lista eleitoral fechada e voto distrital. Os dispositivos ligados à obrigatoriedade de os candidatos fazerem declaração pública de bens e prestarem contas dos gastos devem ser aperfeiçoados, os órgãos públicos de fiscalização e controle podem ser equipados e reforçados.
Com base no exposto, mudanças na legislação eleitoral poderão representar, como principal aspecto, um reforço da
(A) política, porque garantirão a seleção de políticos experientes e idôneos.
(B) economia, porque incentivarão gastos das empresas públicas e privadas.
(C) moralidade, porque inviabilizarão candidaturas despreparadas intelectualmente.
(D) ética, porque facilitarão o combate à corrupção e o estímulo à transparência.
(E) cidadania, porque permitirão a ampliação do número de cidadãos com direito ao voto.
QUESTÃO 02
ENADE: Leia e relacione os textos a seguir.
O Governo Federal deve promover a inclusão digital, pois a falta de acesso às tecnologias digitais acaba por excluir socialmente o cidadão, em especial a juventude.
(Projeto Casa Brasil de inclusão digital começa em 2004. In: MAZZA, Mariana. JB online.)
Comparando a proposta acima com a charge, pode-se concluir que
(A) o conhecimento da tecnologia digital está democratizado no Brasil.
(B) a preocupação social é preparar quadros para o domínio da informática.
(C) o apelo à inclusão digital atrai os jovens para o universo da computação.
(D) o acesso à tecnologia digital está perdido para as comunidades carentes.
(E) a dificuldade de acesso ao mundo digital torna o cidadão um excluído social.
QUESTÃO 03
ENADE: As ações terroristas cada vez mais se propagam pelo mundo, havendo ataques em várias cidades, em todos os continentes. Nesse contexto, analise a seguinte notícia:
No dia 10 de março de 2005, o Presidente de Governo da Espanha José Luis Rodriguez Zapatero em conferência sobre o terrorismo, ocorrida em Madri para lembrar os atentados do dia 11 de março de 2004, “assinalou que os espanhóis encheram as ruas em sinal de dor e solidariedade e dois dias depois encheram as urnas, mostrando assim o único caminho para derrotar o terrorismo: a democracia. Também proclamou que não existe álibi para o assassinato indiscriminado. Zapatero afirmou que não há política, nem ideologia, resistência ou luta no terror, só há o vazio da futilidade, a infâmia e a barbárie. Também defendeu a comunidade islâmica, lembrando que não se deve vincular esse fenômeno com nenhuma civilização, cultura ou religião. Por esse motivo apostou na criação pelas Nações Unidas de uma aliança de civilizações para que não se continue ignorando a pobreza extrema, a exclusão social ou os Estados falidos, que constituem, segundo ele, um terreno fértil para o terrorismo”.
(MANCEBO, Isabel. Madri fecha conferência sobre terrorismo e relembra os mortos de 11-M. (Adaptado).
Disponível em: http://www2.rnw.nl/rnw/pt/atualidade/europa/at050311_onzedemarco?Acesso em Set. 2005)
A principal razão, indicada pelo governante espanhol, para que haja tais iniciativas do terror está explicitada na seguinte afirmação:
(A) O desejo de vingança desencadeia atos de barbárie dos terroristas.
(B) A democracia permite que as organizações terroristas se desenvolvam.
(C) A desigualdade social existente em alguns países alimenta o terrorismo.
(D) O choque de civilizações aprofunda os abismos culturais entre os países.
(E) A intolerância gera medo e insegurança criando condições para o terrorismo.
QUESTÃO 04
(Laerte. O condomínio)
(Disponível em: http://www2.uol.com.br/laerte/tiras/index-condomínio.html)
ENADE: As duas charges de Laerte são críticas a dois problemas atuais da sociedade brasileira, que podem ser identificados pela crise
(A) na saúde e na segurança pública.
(B) na assistência social e na habitação.
(C) na educação básica e na comunicação.
(D) na previdência social e pelo desemprego.
(E) nos hospitais e pelas epidemias urbanas.
QUESTÃO 05
ENADE: Leia trechos da carta-resposta de um cacique indígena à sugestão, feita pelo Governo do Estado da Virgínia (EUA), de que uma tribo de índios enviasse alguns jovens para estudar nas escolas dos brancos.
“(...) Nós estamos convencidos, portanto, de que os senhores desejam o nosso bem e agradecemos de todo o coração. Mas aqueles que são sábios reconhecem que diferentes nações têm concepções diferentes das coisas e, sendo assim, os senhores não ficarão ofendidos ao saber que a vossa idéia de educação não é a mesma que a nossa. (...) Muitos dos nossos bravos guerreiros foram formados nas escolas do Norte e aprenderam toda a vossa ciência. Mas, quando eles voltaram para nós, eram maus corredores, ignorantes da vida da floresta e incapazes de suportar o frio e a fome. Não sabiam caçar o veado, matar o inimigo ou construir uma cabana e falavam nossa língua muito mal. Eles eram, portanto, inúteis. (...) Ficamos extremamente agradecidos pela vossa oferta e, embora não possamos aceitá-la, para mostrar a nossa gratidão concordamos que os nobres senhores de Virgínia nos enviem alguns de seus jovens, que lhes ensinaremos tudo que sabemos e faremos deles homens.”
(BRANDÃO, Carlos Rodrigues. O que é educação. São Paulo: Brasiliense, 1984)
A relação entre os dois principais temas do texto da carta e a forma de abordagem da educação privilegiada pelo cacique está representada por:
(A) sabedoria e política / educação difusa.
(B) identidade e história / educação formal.
(C) ideologia e filosofia / educação superior.
(D) ciência e escolaridade / educação técnica.
(E) educação e cultura / educação assistemática.
QUESTÃO 06
ENADE: O referendo popular é uma prática democrática que vem sendo exercida em alguns países, como exemplificado, na charge, pelo caso espanhol, por ocasião da votação sobre a aprovação ou não da Constituição Européia.
Na charge, pergunta-se com destaque: “Você aprova o tratado da Constituição Européia?”, sendo apresentadas várias opções, além de haver a possibilidade de dupla marcação.
A crítica contida na charge indica que a prática do referendo deve
(A) ser recomendada nas situações em que o plebiscito já tenha ocorrido.
(B) apresentar uma vasta gama de opções para garantir seu caráter democrático.
(C) ser precedida de um amplo debate prévio para o esclarecimento da população.
(D) significar um tipo de consulta que possa inviabilizar os rumos políticos de uma nação.
(E) ser entendida como uma estratégia dos governos para manter o exercício da soberania.
QUESTÃO 07
ENADE: A “cidade” retratada na pintura de Alberto da Veiga Guignard está tematizada nos versos
(A) Por entre o Beberibe, e o oceano
Em uma areia sáfia, e lagadiça
Jaz o Recife povoação mestiça,
Que o belga edificou ímpio tirano.
(MATOS, Gregório de. Obra poética. Ed. James Amado. Rio de Janeiro: Record, 1990. Vol. II, p. 1191.)
(B) Repousemos na pedra de Ouro Preto,
Repousemos no centro de Ouro Preto:
São Francisco de Assis! igreja ilustre, acolhe,
À tua sombra irmã, meus membros lassos.
(MENDES, Murilo. Poesia completa e prosa. Org. Luciana Stegagno Picchio. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1994. p. 460.)
(C) Bembelelém
Viva Belém!
Belém do Pará porto moderno integrado na equatorial
Beleza eterna da paisagem
Bembelelém
Viva Belém!
(BANDEIRA, Manuel. Poesia e prosa. Rio de Janeiro: Aguilar, 1958. Vol. I, p. 196.)
(D) Bahia, ao invés de arranha-céus, cruzes e cruzes
De braços estendidos para os céus,
E na entrada do porto,
Antes do Farol da Barra,
O primeiro Cristo Redentor do Brasil!
(LIMA, Jorge de. Poesia completa. Org. Alexei Bueno. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1997. p. 211.)
(E) No cimento de Brasília se resguardam
maneiras de casa antiga de fazenda,
de copiar, de casa-grande de engenho,
enfim, das casaronas de alma fêmea.
(MELO NETO, João Cabral. Obra completa. Rio de Janeiro: Nova Aguilar, 1994. p. 343.)
FORMAÇÃO GERAL QUESTÕES DISCURSIVAS de 1 a 3
QUESTÃO 01
ENADE: A partir das ideias presentes nos textos acima, expresse a sua opinião, fundamentada em dois argumentos sobre a melhor maneira de se preservar a maior floresta equatorial do planeta. (máximo de 10 linhas) (valor: 10,0 pontos)
QUESTÃO 02
ENADE: Nos dias atuais, as novas tecnologias se desenvolvem de forma acelerada e a Internet ganha papel importante na dinâmica do cotidiano das pessoas e da economia mundial. No entanto, as conquistas tecnológicas, ainda que representem avanços, promovem consequências ameaçadoras.
Leia os gráficos e a situação-problema expressa através de um diálogo entre uma mulher desempregada, à procura de uma vaga no mercado de trabalho, e um empregador.
Apresente uma conclusão que pode ser extraída da análise
a) dos dois gráficos; (valor: 5,0 pontos)
b) da situação-problema, em relação aos gráficos. (valor: 5,0 pontos)
QUESTÃO 03
ENADE: Vilarejos que afundam devido ao derretimento da camada congelada do subsolo, uma explosão na quantidade de insetos, números recorde de incêndios florestais e cada vez menos gelo − esses são alguns dos sinais mais óbvios e assustadores de que o Alasca está ficando mais quente devido às mudanças climáticas, disseram cientistas. As temperaturas atmosféricas no Estado norte-americano aumentaram entre 2°C e 3°C nas últimas cinco décadas, segundo a Avaliação do Impacto do Clima no Ártico, um estudo amplo realizado por pesquisadores de oito países.
(Folha de S. Paulo, 28 set. 2005)
O aquecimento global é um fenômeno cada vez mais evidente devido a inúmeros acontecimentos como os descritos no texto e que têm afetado toda a humanidade.
Apresente duas sugestões de providências a serem tomadas pelos governos que tenham como objetivo minimizar o processo de aquecimento global. (valor: 10,0 pontos)
COMPONENTE ESPECÍFICO QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA
QUESTÃO 11
ENADE: A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada — o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m³ /s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m³ /s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
QUESTÃO 12
ENADE: Um restaurante do tipo self-service oferece 3 opções de entrada, 5 de prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor sua refeição com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais e 2 sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá compor a sua refeição?
A) 4.
B) 5.
C) 12.
D) 60.
E) 180
QUESTÃO 13
ENADE: Considere a progressão geométrica 1, 
, ..., e denote por Sn a soma de seus n primeiros termos. Ao se levar em conta que, para x ≠ 1, 
, conclui-se que o maior número in n teiro positivo n para o qual 
, é igual a
, ..., e denote por Sn a soma de seus n primeiros termos. Ao se levar em conta que, para x ≠ 1, , conclui-se que o maior número in n teiro positivo n para o qual , é igual a A) 3.
B) 4.
C) 5.
D) 6.
E) 7.
QUESTÃO 14
ENADE: Considere P(x) = (m – 4)(m² + 4)x + x² + kx + 1 um polinômio na variável x, em que m e k são constantes reais. Assinale a opção que apresenta condições a serem satisfeitas pelas constantes m e k para que P(x) não admita raiz real.
A) m = 4 e - 2 < k < 2
B) m = - 4 e k > 2
C) m = - 2 e - 2 < k < 2
D) m = 4 e k < 2
E) m = - 2 e k > - 2
QUESTÃO 15 - ANULADA
QUESTÃO 16
ENADE: Considere o retângulo Q0 , ilustrado acima e a partir dele, construa a sequência de quadriláteros Q1 , Q2 , Q3 , ..., de tal modo que, para i > 1, os vértices de Q1 são os pontos médios dos lados de Qi-1 .
Representando por a(Q1 ) a área do quadrilátero Q5 , julgue os itens que se seguem.
I A subsequência de quadriláteros Q1 , Q3 , Q5 , ..., correspondente aos índices ímpares, é formada somente por paralelogramos.
II O quadrilátero Q6 é um retângulo.
III Para i > 1, 
Assinale a opção correta.
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
QUESTÃO 17
ENADE: Considere a pirâmide OABCD de altura OA e cuja base é o paralelogramo ABCD. Considere também o prisma apoiado sobre a base da pirâmide e cujos vértices superiores são os pontos médios das arestas concorrentes no vértice O. Represente por V1 o volume da pirâmide OABCD e por V2 o volume do prisma. A respeito dessa situação, um estudante do ensino médio escreveu o seguinte:
A razão 
independe de a base da pirâmide OABCD ser um retângulo ou um paralelogramo qualquer porque OAB é um triângulo retângulo.
independe de a base da pirâmide OABCD ser um retângulo ou um paralelogramo qualquer porque OAB é um triângulo retângulo.Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que
A) as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B) as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
C) a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) ambas as asserções são proposições falsas.
QUESTÃO 18
ENADE: As equações x² + y² + 4x – 4y + 4 = 0 e x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0 representam, no plano cartesiano xOy, as circunferências C e C , respectivamente. Nesse caso,
A) as duas circunferências têm exatamente 2 pontos em comum.
B) a equação da reta que passa pelos centros de C1 e C2 é expressa por y = - x + 1.
C) os eixos coordenados são tangentes comuns às duas circunferências.
D) o raio da circunferência C1 é o triplo do raio da circunferência C2 .
E) as duas circunferências estão contidas no primeiro quadrante do plano cartesiano xOy.
QUESTÃO 19
ENADE: O mandato do reitor de uma universidade começará no dia 15 de novembro de 2005 e terá duração de exatamente quatro anos, sendo um deles bissexto. Nessa situação, conclui-se que o último dia do mandato desse reitor será no(a)
A) sexta-feira.
B) sábado.
C) domingo.
D) segunda-feira.
E) terça-feira.
Leia o texto a seguir para responder às questões 20 e 21.
Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos z1 , z2 e z3 , que são raízes cúbicas da unidade. Desenha-se também o triângulo S, com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos w1 , w2 e w3 , que são raízes cúbicas complexas de 8.
QUESTÃO 20
ENADE: Com base no texto acima, assinale a opção correta.
A) 
é um dos vértices do triângulo T.
é um dos vértices do triângulo T.B) 
é um dos vértices do triângulo S.
é um dos vértices do triângulo S.C) w1 z1 é raiz da equação x6 – 1 = 0.
D) Se w1 = 2, então 
E) Se z1 = 1, então z2 é o conjugado complexo de z3 .
QUESTÃO 21
ENADE: Na situação descrita no texto, se a é a área de T e se aᶰ é a área de S, então
A) aᶰ = 8a.
B) aᶰ = 6a.
C) aᶰ = 4a.
D) aᶰ = 
.
.E) aᶰ = 2a.
QUESTÃO 22
ENADE: No espaço R³ , considere os planos II1 e II2 de equações II2 : 5x + y + 4z = 2 e II2 : 15x + 3y + 12z = 7.
Um estudante de cálculo, ao deparar-se com essa situação, escreveu o seguinte:
O planos II1 e II2 e A são paralelos porque o vetor de coordenadas (10, 2, 8) é um vetor não-nulo e normal a ambos os planos.
Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que
A) as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira.
B) as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
C) a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) ambas as asserções são proposições falsas.
QUESTÃO 23
ENADE: A respeito da solução de equações em estruturas algébricas, assinale a opção incorreta.
A Em um grupo (G, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a G.
B) Em um anel (A, +, •), a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.
C) Em um anel (A, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.
D) Em um corpo (K, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a K, a 0.
E) Em um corpo (K, +, •), a equação a•X + b = c tem solução para quaisquer a, b e c pertencentes a K, a ≠ 0
QUESTÃO 24
Observe as figuras abaixo.
ENADE: Podem ser imagem da figura A por alguma transformação linear T : R² → R² apenas as figuras.
A) I, III e IV.
B) III, IV e VI.
C) I, II, IV e V.
D) I, II, V e VI.
E) II, III, V e VI.
QUESTÃO 25
ENADE: A respeito da função f(x) = x³ 2x² + 5x + 16, é correto afirmar que
A) existe um número real M tal que f(x) > M para todo número real x.
B) existe um número real N tal que f(x) < N para todo número real x.
C) existe um número real x < 0 tal que f(x0 ) = 0.
D) existe um número real y tal que f(x) ≠ y para todo número real x.
E) existem 3 números reais x para os quais f(-x) = f(x).
QUESTÃO 26
ENADE: Considere f : [0, 4) → R uma função cujo gráfico está representado na figura a seguir.
Assinale a opção que melhor representa o gráfico da função 
QUESTÃO 27
ENADE: Considere em R³ uma bola de centro na origem e raio 4. Em cada ponto (x, y, z) dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto, expressa por 
.
.
Nessa situação, partindo-se de um ponto (x0 , y0 , z0 ) da fronteira da bola e caminhando-se em linha reta na direção do pon to (-x0 , -y0 , -z0 ), observa-se que a temperatura
A) será máxima nos pontos da fronteira da bola.
B) estará sempre aumentando durante todo o percurso.
C) estará sempre diminuindo durante todo o percurso.
D) atingirá o seu maior valor no centro da bola.
E) assumirá o seu maior valor em 4 pontos distintos.
QUESTÃO 28
ENADE: A figura acima ilustra parte do gráfico da função 
, definida para (x, y) 0 R . Sabendo que se a > 0, 2 então 
, julgue os itens a seguir.
, definida para (x, y) 0 R . Sabendo que se a > 0, 2 então , julgue os itens a seguir.I Os conjuntos C = {(x, y) 0 R : f(x, y) = k, 0 < k < 1}, que 2 representam curvas de nível da função f, são circunferências de centro na origem.
II 
III A função f é limitada superiormente, mas não é limitada inferiormente.
IV 
Estão certos apenas os itens
A) I e III.
B) II e IV.
C) III e IV.
D) I, II e III.
E) I, II e IV.
QUESTÃO 29
ENADE: Em um paralelogramo ABCD, considere M o ponto da base AB tal que 
e E o ponto de interseção do segmento CM com a diagonal BD, conforme figura a seguir.
e E o ponto de interseção do segmento CM com a diagonal BD, conforme figura a seguir.
Prove, detalhadamente e de forma organizada, que a área do triângulo BME é igual a 
da área do paralelogramo ABCD.
da área do paralelogramo ABCD.No desenvolvimento de sua demonstração, utilize os seguintes fatos, justificando-os:
< os triângulos BME e DCE são semelhantes;
< a altura do triângulo BME, relativa à base BM, é igual a 
da altura do triângulo DCE relativa à base DC.
da altura do triângulo DCE relativa à base DC.QUESTÃO 30
ENADE: Considere f : R ÷ R uma função derivável até a ordem 2, pelo menos, tal que f(-2) = 0, f(-1) = -1, f(0) = -2, f(1) = 1 e f(2) = 2. O gráfico da derivada de primeira ordem, fᶰ , tem o aspecto apresentado abaixo.
Com base nos valores dados para a função f e no gráfico de sua derivada f N, faça o que se pede nos itens a seguir.
a) Na reta abaixo, represente com setas ↑ ou ↓ os intervalos em que a função f é crescente ou descrescente, respectivamente. (valor: 2,0 pontos)
b) Calcule: 
(valor: 1,0 ponto)
(valor: 1,0 ponto)c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo relativos (locais) de f ? (valor: 2,0 pontos)
d) Quais são os pontos de inflexão de f ? (valor: 1,0 ponto)
e) No sistema de eixos coordenados abaixo, faça um esboço do gráfico da função f. (valor: 4,0 pontos)
LICENCIATURA
QUESTÃO 31
ENADE: Uma das fontes da história da matemática egípcia é o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.C.). Constam desse documento os problemas a seguir.
Problema 1: Comparar a área de um círculo com a área de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte figura faz parte da resolução desse problema.
Problema 2: “Exemplo de um corpo redondo de diâmetro 9. Qual é a área?”
A solução apresentada pelo escriba pode ser descrita como:
< remover 
do diâmetro; o restante é 8;
do diâmetro; o restante é 8;< multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a área é 64;
O procedimento do escriba permite calcular a área A de um círculo de diâmetro d aplicando a fórmula 
.
.Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
I A figura do problema 1 sugere aproximar a área de um círculo à área de um octógono.
II O procedimento, no problema 2, fornece uma aproximação para B, por excesso, correta até a 2. casa decimal. a
III De acordo com o procedimento, no problema 2, a área do círculo de diâmetro d é igual à de um quadrado de lado 
.
.
..
Assinale a opção correta.
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
QUESTÃO 32
ENADE: Na aprendizagem da equação quadrática, a escola básica tende a trabalhar exclusivamente com a fórmula conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara. Entretanto, existem outras formulações desde a antiguidade, quando já se podiam identificar problemas e propostas de soluções para tais tipos de equação. Há mais de 4.000 anos, na Babilônia, adotavam-se procedimentos que hoje equivalem a expressar uma solução de x² - bx = c como 
. Euclides (séc. I a.C.), no livro X de sua obra Os Elementos, já propunha uma resolução geométrica que permite resolver uma equação quadrática do tipo ax - x² = b, utilizando exclusivamente compasso e régua não-graduada.
. Euclides (séc. I a.C.), no livro X de sua obra Os Elementos, já propunha uma resolução geométrica que permite resolver uma equação quadrática do tipo ax - x² = b, utilizando exclusivamente compasso e régua não-graduada.A respeito de uma proposta de ensino de resolução de equação quadrática com o enfoque em procedimentos historicamente construídos, assinale a opção correta.
A) Tal proposta desvia a atenção da aprendizagem do foco central do conteúdo, fazendo que o aluno confunda as formulações, e, por conseqüência, não desenvolva competências na resolução de equações quadráticas.
B) É adequada a inserção dessa perspectiva, associada à manipulação de recorte e colagem pela complementação de quadrados, buscando sempre alternativas para as situações que esse procedimento não consegue resolver.
C) É mais adequado trabalhar o desenvolvimento da resolução de equações incompletas e, posteriormente, por meio da formulação de Bhaskara, manipular as equações completas, para somente no ensino médio ampliar tal conhecimento com o enfoque histórico.
D) É adequado utilizar tal proposta no ensino, uma vez que ela permite explicar a resolução de qualquer tipo de equação quadrática.
E) Tal proposta é inexeqüível pelo tempo excessivo que exige do professor e por retardar a aprendizagem de alunos com dificuldades tanto em álgebra quanto em geometria.
QUESTÃO 33
ENADE: Não se pode negar que, embora bastante presentes em problemas envolvendo valores monetários e medidas, os números decimais constituem uma dificuldade no processo da aprendizagem matemática nas escolas. Uma das causas desseproblema está na estrutura do currículo da matemática na escola básica.
Julgue os itens a seguir, acerca do ensino dos números decimais no currículo da educação básica.
I Os números decimais representam uma expansão do sistema de numeração decimal enquanto base decimal e, por isso, seu conceito e representação no currículo precisam vir articulados à expansão da estrutura do sistema decimal.
II O ensino dos números decimais deve preceder o ensino do sistema monetário, uma vez que o conhecimento dos decimais no currículo da educação básica é um prérequisito para a aprendizagem desse conteúdo.
III O currículo de matemática da escola básica deve propor, inicialmente, o ensino das frações com qualquer denominador, para então tratar das frações decimais como um caso específico, introduzindo, então, os números decimais.
IV A ação do aluno em contextos de significado envolvendo valores monetários e medidas é fonte geradora de aprendizagem dos números decimais e, portanto, de ensino na escola, em um processo de resgate dos conhecimentos prévios dos alunos.
São reflexões apropriadas para a superação da problemática da baixa aprendizagem dos números decimais na escola apenas as contidas nos itens
A) I e II.
B) I e III.
C) I e IV.
D) II e III.
E) II, III e IV.
QUESTÃO 34
ENADE: Com o objetivo de chamar a atenção para o desperdício de água, um professor propôs a seguinte tarefa para seus alunos da 6.ª série do ensino fundamental:
Sabe-se que, em média, um banho de 15 minutos consome 136 L de água, o consumo de água de uma máquina de lavar roupas é de 75 L em uma lavagem completa e uma torneira pingando consome 46 L de água por dia. Considerando o número de banhos e o uso da máquina de lavar, compare a quantidade de água consumida por sua família durante uma semana com a quantidade de água que é desperdiçada por 2 torneiras pingando nesse período. Analise e comente os resultados.
No que se refere ao trabalho do aluno na resolução do problema proposto, assinale a opção incorreta.
A) Elabora modelos matemáticos para resolver problemas.
B) Analisa criticamente a situação-problema levando em conta questões sociais.
C) Pode representar os resultados graficamente.
D) Aciona estratégias de resolução de problemas.
E) Examina conseqüências do uso de diferentes definições.
QUESTÃO 35
ENADE: Em uma classe da 6.ª série do ensino fundamental, o professor de matemática propôs aos alunos a descoberta de planificações para o cubo, que fossem diferentes daquelas trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de alunos produziu a seguinte proposta de planificação.
Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era possível. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem fundamento matemático.
A) Não se podem alinhar três quadrados.
B) Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos quadrados alinhados.
C) Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter os outros três também alinhados.
D) Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos, que serão as arestas do cubo.
E) Tem de haver quatro quadrados alinhados, e não importa a posição de justaposição dos outros dois quadrados.
QUESTÃO 36
ENADE: Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e à aprendizagem de porcentagens.
I O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural como motivação de aprendizagem.
II O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual deve ocorrer quando se estudam juros compostos.
III O ensino de frações centesimais e o de frações de quantidade devem ser articulados com o ensino de porcentagens.
IV O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números, medidas, geometria e tratamento da informação.
Estão certos apenas os itens
A) I e II.
B) II e III.
C) III e IV.
D) I, II e III.
E) I, III e IV.
QUESTÃO 37
ENADE: É comum alunos do ensino médio conhecerem a demonstração do teorema de Pitágoras feita no livro I de Os Elementos de Euclides. Nela, usa-se o fato de que todo triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, está inscrito em um semicírculo.
Demonstra-se que as projeções m e n de AB e AC sobre a hipotenusa satisfazem à relação mn = h² , em que h é a altura do triângulo. Por meio das relações de proporcionalidade entre os lados dos triângulos ABD, CAD e CBA, prova-se que a2 + b² = c² .
Além de demonstrar o teorema de Pitágoras, o professor pode, ainda, com essa estratégia, demonstrar que
I é possível construir, com régua e compasso, a média geométrica entre dois números reais m e n.
II é possível construir, com régua e compasso, um quadrado de mesma área que a de um retângulo de lados m e n.
III todos os triângulos retângulos que aparecem na figura são semelhantes.
Assinale a opção correta.
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
QUESTÃO 38
ENADE: Um grupo de alunos de 7.ª série resolveu “brincar” de fazer cálculos utilizando uma calculadora não-científica. Em determinado momento, eles realizaram a seguinte seqüência de procedimentos:
1.º tecla “3”
2.º tecla “√”
3.º tecla “×”
4.º tecla “ = ”
Os alunos ficaram surpresos com o número que apareceu no visor: “2.9999999996” e resolveram questionar o professor sobre o acontecido. Afinal, a resposta não deveria ser 3?
Assinale a opção que mais adequadamente descreve um procedimento a ser adotado pelo professor.
A) Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora científica, discutindo a diferença entre os conceitos de números racionais, aproximações e números irracionais.
B) Dizer que a calculadora não-científica comete erros, por isso, não deve ser utilizada na escola, mas apenas no comércio, para se fazer conta simples, que não envolva cálculos aproximados.
C) Montar a expressão numérica que representa a situação, mostrando que, na verdade, há erros procedimentais por parte dos alunos ao operarem com a calculadora.
D) Provar que, se a calculadora não-científica tivesse o dobro de casas decimais, ao final, ela arredondaria para 3, dando a resposta esperada.
E) Dizer que a calculadora científica faz os devidos arredondamentos para que a resposta seja algebricamente correta; por isso, é considerada “científica”.
QUESTÃO 39
ENADE: Um aluno de 5.ª série, ao fazer a operação 63787 ÷ 3 na resolução de um problema, foi considerado em “situação de dificuldade”, ao apresentar o seguinte registro:
A análise do procedimento desse aluno revela que
A) ele não sabe o algoritmo da divisão, o que indica problemas de aprendizagem oriundos das séries iniciais.
B) o procedimento aplicado não traz contribuições para o desenvolvimento matemático do aluno, uma vez que ele não poderá realizá-lo em outras situações matemáticas.
C) o aluno terá dificuldade de compreender os processos operatórios dos colegas e os feitos pelo professor ou apresentados no livro didático.
D) o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto o conceito da operação de divisão.
E) deverá ser incentivada a utilização de tal procedimento somente em produções individualizadas, como em atividades para casa.
QUESTÃO 40
ENADE: Em uma avaliação de matemática de 5.ª série, a situação proposta exigia que fosse calculado o quociente entre 8 e 7. O professor observou que uma aluna registrou o seguinte.
A partir da análise dessa situação, responda às seguintes questões.
a) Qual o erro da aluna na sua produção matemática? (valor: 2,0 pontos)
b) Que fatores pedagógicos fazem com que tal erro seja gerado? (valor: 4,0 pontos)
c) Que tipo de intervenção pode realizar o professor para que essa aluna reflita sobre o erro cometido e supere tal dificuldade? (valor: 4,0 pontos)
BACHARELADO
QUESTÃO 41
ENADE: Considerando p(x) = x + 2x² + 2x + 2, q(x) = x – 16 e definindo os anéis quocientes
A1 = Q[x] / <p(x)> e A2 = Q[x] / <q(x)>, em que Q[x] denota o anel de polinômios sobre Q na variável x e <f(x)> representa o ideal de Q[x] gerado pelo polinômio f(x), assinale a opção correta.
A) De acordo com o critério de Eisenstein, os polinômios p(x) e q(x) são irredutíveis.
B) O ideal <q(x)>, gerado pelo polinômio q(x), é maximal.
C) Os anéis quocientes A1 e A2 são corpos.
D) Somente o anel quociente A1 é corpo.
E) O anel quociente A admite divisores de zero.
QUESTÃO 42
ENADE: Considere a e b dois números inteiros positivos primos entre si e f : Z ÿ Z/aZ × Z/bZ → x K (x1 , x2 ), em que x1 / x2 (mod a) e x / x (mod b). Com relação a essa função, assinale a opção incorreta.
A) f é um homomorfismo de anéis.
B) f é uma função sobrejetora.
C) O núcleo de f é o ideal de Z gerado por ab.
D) f é um isomorfismo de anéis.
E) f induz um isomorfismo entre Z/abZ e Z/aZ × Z/bZ.
QUESTÃO 43
ENADE: Se G é um grupo multiplicativo de ordem n e H é um subgrupo de G, de ordem m, então
A) mdc(m, n) = 1.
B) H tem um gerador de ordem m.
C) o índice de H em G é igual a mn.
D) m é divisor de n.
E) o grupo quociente G/H é abeliano.
QUESTÃO 44
ENADE: O que é correto afirmar a respeito de um operador linear T : R³ ÷ R³ que possua os números 2 e 3 como únicos autovalores?
A Pode existir uma base de R³ na qual a matriz desse operador é da forma 
.
.
B Existe base de R³ na qual a matriz desse operador tem uma linha nula.
C Existe uma base de R³ na qual a matriz desse operador é da forma 
D É possível que o auto-espaço associado a algum dos autovalores de T tenha dimensão 2.
E) O polinômio característico de T é igual a (2) (3).
QUESTÃO 45
ENADE: Uma função f : Rᶰ → R é chamada homogênea de grau k se f(tx) = t f (x), para todo número real t e para todo vetor x de R . Se uma k n função diferenciável f é homogênea de grau k, então é possível mostrar que kf (x) = ⌂f (x) x, Ɐœ x Rᶰ. Essa igualdade é chamada identidade de Euler.
Sabendo que, em cada ponto da superfície da esfera unitária, o vetor normal unitário exterior é o próprio vetor posição, analise os seguintes passos utilizados na obtenção da integral de superfície
.passo I: A integral de superfície pode ser reescrita como 
.
.passo II: A integral obtida no passo I é igual a 
.
.passo III: Calculando-se essa última integral, obtém-se 4B como resultado.
Assinale a opção correta acerca desses procedimentos.
A) No passo I, utilizou-se a identidade de Euler indevidamente, já que a função que se quer integrar não é homogênea.
B) No passo II, o integrando é o produto interno do gradiente da função f(x, y, z) = x² + y² + z² + xy com um vetor unitário pertencente ao plano tangente à superfície da esfera unitária.
C) Na passagem de I para II, utilizou-se o teorema de Stokes, e, para isso, n = (x, y, z) foi tomado como vetor normal à superfície da esfera unitária.
D) Para se obter a expressão do passo II, utilizou-se a relação ⌂.⌂f = ⌂f, isto é, o divergente do gradiente de uma função é o laplaciano dessa função.
E) No passo III, considerou-se que a integral tripla do passo II é igual à área da superfície da esfera unitária.
QUESTÃO 46
ENADE: Analise as proposições abaixo a respeito de duas funções analíticas f e g : C → C.
I Se 
, para todo número natural n, então f (z) = 0, para todo número complexo z.
, para todo número natural n, então f (z) = 0, para todo número complexo z.II Se g(z) = 0 para todo número complexo z em algum subconjunto de C que possui ponto de acumulação, então g(z) = 0, para todo número complexo z.
Nesse caso,
A) as proposições I e II são verdadeiras, sendo que a segunda pode ser usada para justificar a primeira.
B) as proposições I e II são verdadeiras, mas a segunda não pode ser usada para justificar a primeira.
C) a proposição I é verdadeira, e a proposição II é falsa.
D) a proposição I é falsa, e a proposição II é verdadeira.
E) as proposições I e II são falsas.
QUESTÃO 47
ENADE: Considere um circuito elétrico composto por uma fonte com tensão constante de E volts em série com um resistor de resistência igual a R ohms e uma bobina de indutância de valor L henrys. O comportamento do sistema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial:
QUESTÃO 48
ENADE: As figuras I, II e III ilustram, respectivamente, os gráficos das funções f (x, y) = x² – y² , g(x, y) = x + y e h(x, y) = (com (x, y) (0, 0)). Para as superfícies regulares S1 , S2 e S3 determinadas pelos gráficos de f, g e h, respectivamente, é correto afirmar que
A) S1 tem curvatura gaussiana nula em p = (0, 0, 0).
B) S2 tem um ponto em que a curvatura gaussiana é negativa.
C) S3 tem curvatura gaussiana nula em todos os pontos.
D) S1 tem curvatura gaussiana constante negativa.
E) S2 tem curvatura gaussiana constante positiva.
QUESTÃO 49
ENADE: A figura ao lado representa, no plano cartesiano xOy, uma conjunto fechado R, limitado por uma curva fechada. A figura é simétrica em relação aos eixos Ox e Oy. Acerca desse conjunto, assinale a opção incorreta.
A) O conjunto R é conexo por caminhos.
B) R está contido no conjunto M = {(x, y) R² ᵋ ; max [|x|, |y|] < 3}. 2
C) O conjunto dos pontos de acumulação de R é um subconjunto de R.
D) R é simplesmente conexo.
E) O conjunto M = {(x, y) R ᵋ ; |x| + |y| < 3} é um subconjunto de R.
QUESTÃO 50
ENADE: A respeito de funções de variável complexa, resolva os itens que se seguem.
a) Escreva a função complexa f(z) = f(x + iy) = z² -3z + 5 na forma f(z) = u(x, y) + i v(x, y) e verifique as equações de Cauchy-Riemann para essa função. (valor: 4,0 pontos)
b) Sabendo que 
, calcule a integral complexa: . (valor: 6,0 pontos)
, calcule a integral complexa: . (valor: 6,0 pontos)
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